2. Математические величины в природе и их влияние на окружающую среду

С начала развития современных цивилизаций древние ученые заметили, что окружающий мир подчиняется законам природы, которые выражаются в математических величинах.

В условиях появления частной собственности в области земельных отношений, когда возникла необходимость четко и неоднозначно подразделять земельные участки между их владельцами, Пифагором были заложены основы геометрии. С выходом торговых путей за пределы «древнего» мира и развитием судоходства назрела необходимость ориентироваться в пространстве среди океанских просторов, где не за что «зацепиться» невооруженному взгляду мореплавателя. Как следствие великих географических открытий и открытия новых земель появились математические расчеты вычисления пути и местонахождения в пространстве по положению планет. В условиях становления и развития промышленного производства математические методы описания физических величин и природных процессов вышли на более высокий уровень, и их основы заложил великий физик Ньютон.

С развитием цивилизации рамки познаваемого наукой мира расширялись, появлялись новые физические и математические методы изучения природных явлений и процессов на Земле и во Вселенной.

Вместе с тем первоосновной всех явлений и процессов в природе являются постоянные математические величины, определяющие как структуру, построение и форму природных объектов, так и основные процессы, происходящие в них.

С выходом жизни на сушу размеры животных в ходе эволюции постепенно возрастали: крупному и, следовательно, более сильному существу легче противостоять хищникам. Максимума это укрупнение достигло в мезозое, в эпоху господства пресмыкающихся — динозавров и их подобным. Но далее произошел перелом. Гигантские динозавры постепенно мельчают (относительно, конечно), затем вымирают. Лидерами сухопутной жизни становятся мелкие поначалу млекопитающие. После освобождения от тирании динозавров происходит укрупнение их размеров. Но, во-первых, это куда более слабая, чем прежде, вспышка гигантизма. Во-вторых, в последние миллионы лет наблюдается неуклонное снижение размеров наиболее крупных млекопитающих (пещерный медведь или олень были крупнее современных медведей и оленей; мастодонт был крупнее мамонта, а мамонт — слона и так далее). Таким образом, внешние и геологические процессы оказывали влияние на биосферу в определенной математической последовательности, которая до конца еще не изучена, но воздействие таких факторов научно доказано и бесспорно и выражается следующими факторами:

биолого-математической закономерности развития биосферы, стремления биосферы как открытой системы к самосовершенствованию;

роста силы тяжести на Земле, и в этих условиях «конструкция» гигантов становилась все менее рациональной, отсюда вес и размеры тела животных входили в противоречия с законами их развития в изменившихся условиях.

В окружающей среде не встречаются объекты, имеющие строго геометрически обозначенную форму круга, квадрата, треугольника, а симметричное расположение никогда не имеет аналогичной формы по оси симметрии объекта. Так, все равно одна рука сильнее другой, органы чувств на лице человека не имеют зеркального положения относительно друг друга. Природа сглаживает и завуализирует математические величины, правящие миром.

Вышеуказанные кажущиеся противоречия между математическими закономерностями в общей системе построения природных объектов и влиянием на них различных внешних и внутренних факторов, которые фактически невозможно учесть при построении общей математической модели природных объектов, выражаются в экспериментальном математическом вычислении пространства природного объекта (прообраза факторного пространства) и произвольного образа этого пространства, форму которого и принимает природный объект под воздействием внешних и внутренних факторов.

Факторное пространство, соответствующее многомерному прямоугольному параллелепипеду, принимается за прообраз факторного пространства R_пр. Используя методы планирования эксперимента, в прообразе всегда можно получить статистические модели с наилучшими характеристиками.

Произвольная область факторного пространства, не соответствующая стандартной форме, принимается за образ факторного пространства R_о. Получить в нем статистические модели с наилучшими характеристиками традиционными методами не представляется возможным, с этой целью применяется метод перехода от заданного плохо обусловленного факторного пространства R_о образа к хорошо обусловленному факторному пространству R_пр прообраза, что позволяет установить наиболее приближенные к реальному образу природного объекта показатели для прогнозирования состояния природного объекта под воздействием влияющих на него факторов внешней среды.

Две системы R_пр и R_о при взаимно однозначном и взаимно непрерывном отображении будут изоморфными, т. е. равными по виду, форме. Понятие изоморфизма включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма. Гомеоморфные пространства топологически эквивалентны.

При рассмотрении топологического отображения метрические свойства множеств X_пр (прообраз) и X_о (образ) не используются. Следовательно, отображаемые множества X_пр, X_о могут характеризоваться различными метрическими свойствами.

Таким образом получаются графические модели образа и прообраза соответственно при линейных и криволинейных ограничениях образа для k = 2; 3 (рис. 6,7).

Однозначность функции f_iотоб^–1 подтверждается путем анализа якобиана: в области прообраза он не равен нулю. Коэффициенты парной корреляции факторов r_ij(X_iо, X_jо) в образе отличны от нуля, а в собственных кодированных координатах образа r_ij(x_iо, x_jо) и в прообразе r_ij(X_iпр, X_jпр) равны нулю.

В основу исследования и обоснования топологического отображения (построения модели по результатам прогнозирования состояния природного объекта во времени и пространстве под воздействием факторов внешней среды) принята теория групп преобразований.

Фигуры прообраза Ф_пр и образа Ф_о находятся в отношении эквивалентности, так как для них выполняются бинарные отношения эквивалентности: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

Таким образом, несмотря на искажения реального природного объекта (образа Ф_о) при математическом построении модели объекта ( прообраза Ф_пр) создаваемые образы эквивалентны реальным природным объектам при применении к ним методов научных исследований, поэтому при построении моделей и исследовании природных объектов в их основу однозначно закладываются расчеты, основанные на принципе расчета математических величин.

Рис. 6. Системы натуральных и собственных кодированных координат областей образа и прообраза при линейном ограничении образа, k = 2

Одними из основных постоянных математических величин, определяющих построение природных объектов, являются числа π и е.

Число имеет математическую величину, равную 3,14..., а число е выражается величиной, определяемой формулой:

е = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2,7183…(факториал п! =1x2x3x… xп) (2)

Рис. 7. Области образа и прообраза при линейном ограничении образа, k = 3.

Числа и е являются одними из определяющих в расчетах в математике, физике, химии, биологии и отражают общие законы природы, при этом константа е непосредственно связана с однородностью пространства и времени, а - с изотропностью пространства и отражают законы сохранения: число е - энергии и импульса (количества движения), а число - вращательного момента (момента импульса).

Рис. 8. Число и сферическая симметрия пространства

Число отражает изотропность свойств пустого пространства нашей Вселенной, их одинаковость по любому направлению, а с изотропностью пространства связан закон сохранения вращательного момента (рис. 8).

Отечественный географ В. В. Пиотровский сравнил средние характеристические размеры природных рельефов: песчаный рифель на отмелях, дюны, сопки, горные системы - и вывел закономерность, что в среднем увеличение размера рельефа на местности составляет 3,14. Аналогичная закономерность обнаружена недавно и в рельефе Луны и Марса. "Тектонические структурные формы, образующиеся в земной коре и выраженные на ее поверхности в виде форм рельефа, развиваются в результате каких-то общих процессов, происходящих в теле Земли, они пропорциональны размерам Земли" (В.В.Пиотровский), т.е. соотношению линейных и дуговых ее размеров.

В основе указанных явлений лежит так называемый закон распределения максимумов случайных рядов, или "закон троек", сформулированный еще в 1927 году Е.Е. Слуцким. Статистически по закону троек происходит формирование морских прибрежных волн. Каждая третья волна в среднем чуть выше соседних. А в ряду этих третьих максимумов каждый третий, в свою очередь, выше своих соседей, и так до образования наибольшей волны «девятый вал», как пика "периода второго ранга".

По закону троек, по расчетам ученых, происходят и колебания солнечной, кометной и метеоритной активностей. Интервалы между их максимумами составляют девять-двенадцать лет или приблизительно 3².

Таким образом (Г. Розенберг), можно продолжить построение временных последовательностей следующим образом:

период третьего ранга 3³ соответствует интервалу между сильными засухами, составляющему в среднем 27-36 лет;

период четвертого ранга 3⁴ - циклу вековой солнечной активности (81-108 лет);

период пятого ранга 3⁵ - циклам «малых» периодов оледенений (243-324 года).

При переходе к степеням числа как приблизительного числа - корня из числа 10, выводятся эмпирически и научно подтверждаются природные циклы (климатообразующие, развития жизни на Земле) и циклы тектонической активности, как следствие движения небесных тел в космическом пространстве и внутриземных процессов, а также колебательный характер природных процессов в интервалах определенных циклов (см. ниже).

Вышеуказанный принцип применим и для незатухающих во времени и пространстве процессов в открытых системах.

Незатухающую волну во времени можно описать синусоидой или суммой синусоид и косинусоид. В математике, физике, электротехнике такую волну (с амплитудой, равной 1) описывает экспоненциальная функция – формула Эйлера:

e^iβt=cos βt + isin βt, (3)

где β - частота гармонических колебаний.

Незатухающая волна демонстрирует соблюдение закона сохранения энергии для электромагнитной волны в вакууме при "упругом" взаимодействии волны со средой без потерь ее энергии.

В пространстве незатухающая волна наиболее ярко выражена в виде стоячей волны (колебания струны, неподвижной в нескольких точках-узлах) или прибрежной песчаной ряби.

Вдоль оси О_х стоячая волна выражается формулой:

e^iх=cos х + isin х (4)

Важнейший класс процессов - линейные и линеаризованные процессы - сохраняет свою линейность именно благодаря однородности пространства и времени. Математически линейный процесс описывается функцией, которая служит решением дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, основанного на формуле Эйлера и определяющего распространение гармонической волны в среде с учетом неупругого взаимодействия с ней, что приводит к рассеянию энергии или же к приобретению энергии от внешних источников:

f(t) = e^(α+ib)t = e^αt(cos βt + isin βt) (5)

В данном случае формула Эйлера умножается на действительную переменную величину e^αt, которая есть амплитуда волны, изменяющаяся во времени, и является:

при α = 0 - постоянной и равной 1 в случае незатухающих гармонических колебаний;

если α > 0 - амплитуда колебаний возрастает;

если α < 0 – амплитуда колебаний затухает по экспоненте (е).

В случае любой волны поведение амплитуды зависит от знака коэффициента a при переменной t (времени);

при β = 0 (колебательный множитель с числом i отсутствует) - затухающая (или нарастающая) по экспоненте "амплитуда".

При отсутствии мнимой, чисто колебательной части функции f(t), при β = 0 (то есть при нулевой частоте) действительная часть экспоненциальной функции описывает множество природных процессов, которые идут в соответствии с фундаментальным принципом: прирост величины пропорционален самой величине.

Данную закономерность можно описать и в других природных средах. Если проследить прохождение звуковой волны во времени, то:

∆I ~ I∆t, (6)

где:

I – сигнал;

∆t - малый интервал времени, за который происходит прирост сигнала ∆I.

Поделив обе части равенства на I и проинтегрировав, получим:

nI ~ kt (7)

Отсюда: I ~ e^kt - закон экспоненциального нарастания либо убывания сигнала (в зависимости от знака k).

При воздействии на биологические объекты сигналов (потоков воздействия), согласно универсальному психофизическому закону Вебера – Фехнера, сила ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения.

Этому закону подчиняются зрение, слух, обоняние, осязание, вкус, эмоции, память (естественно, пока физиологические процессы не переходят скачком в патологические, когда рецепторы подверглись видоизменению или разрушению).

Согласно закону Вебера-Фехнера:

малому приросту сигнала раздражения в любом его интервале отвечает линейный прирост (с плюсом или минусом) силы ощущения;

в области слабых сигналов раздражения прирост силы ощущения гораздо круче, чем в области сильных сигналов.

Динамический диапазон биологических рецепторов колоссален: принимаемые глазом сигналы могут различаться по силе в ~ 10¹⁰, а ухом - в ~ 10¹² раз.

Живая природа приспособилась к таким диапазонам. Она защищается, логарифмируя (путем биологического ограничения) поступающие раздражители, иначе рецепторы погибли бы. На законе Вебера - Фехнера основана широко применяемая логарифмическая (децибельная) шкала силы звука, в согласии с которой работают регуляторы громкости аудиоаппаратуры: их смещение пропорционально воспринимаемой громкости и соответствует величине lg/₀.

Порогом слышимости является величина р₀ = 10^-12 Дж/м²с, т.е. lg1 = 0. Увеличение силы (давления) звука в 10 раз соответствует примерно ощущению шепота, которое выше порога на 1 бел по шкале логарифмов. Усиление звука в миллион раз от шепота до крика (до 10^-5 Дж/м²с) по логарифмической шкале есть увеличение на 6 порядков или на 6 Бел.

Показания функции при α = 0, β 0 в решении дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами дают описание множества линейных и линеаризованных процессов, в которых имеют место незатухающие гармонические колебания, при этом значения чисел и е являются основными показателями формулы Эйлера в ее первоначальном виде: еⁱ = -1.

Математическое логарифмирование природных процессов применимо и к живым организмам, построению их формы тела и взаимному расположению отдельных элементов живых систем.

По этому принципу происходит образование логарифмических спиралей в раковинах моллюсков (рис. 9), рядов семян в корзинке подсолнуха, чешуек в шишках. Примеры можно продолжить до роста волос на голове человека от макушки к периферии.

В данных случаях расстояние от центра прирастает по закону r = ae^kj. В каждый момент скорость прироста линейно пропорциональна самому этому расстоянию.

Геометрической моделью формулы Эйлера является движение по окружности с постоянной по абсолютному значению скоростью, которое есть сумма двух гармонических колебаний.

По физической сущности в формуле и ее модели отражаются все три фундаментальных свойства пространства-времени - их однородность и изотропность, т.е. три закона сохранения.

Положение о связи законов сохранения с однородностью времени и пространства тождественно рассматриваемым природным процессам в окружающей среде:

для евклидова пространства (Земли в целом как закрытой системы);

для псевдоевклидова пространства Минковского в общей теории относительности (ОТО), с учетом четвертой координаты пространства – временной, как для открытой системы – Земли в общей системе космического пространства на планетарном уровне.

Рис. 9. Логарифмическая спираль имеет уравнение ρ = ae^kj.

Пространство Минковского (А.А.Логунов) отражает свойства, общие для всех форм материи. Это обеспечивает существование единых физических характеристик - энергии, импульса, момента количества движения, законов сохранения энергии, импульса, выражаемых математическими величинами, как для рассматриваемых процессов в окружающей среде, так и для процессов общепланетарного уровня.

Для изучения зависимости целевой функции (или функции отклика открытых систем) y, выражающей состояние окружающей среды как системы в целом, от нескольких факторов x₁ ... x_n, определяющих воздействие на окружающую среду как открытую систему тех или иных процессов как внешнего, так и внутреннего воздействия, выполняются следующие последовательные действия:

изучение характера зависимости, степени влияния различных факторов на целевую функцию, с дальнейшим определением значения целевой функции при определенных значениях факторов;

поиск оптимальных условий (набора значений факторов), при которых целевая функция достигает экстремума (минимума или максимума).

Для определения функции регрессии природной среды под воздействием внешних и внутренних факторов J_N необходимо учитывать:

величину (показатель) отклика природной среды как открытой системы ;

вероятностную меру воздействия на природную среду, обуславливающую ее регрессию, U с конечным носителемsup  = {hU, (h)0};

H₁ - конечномерное подпространство воздействия пространства, занимаемого природной средой, подверженной воздействию,H(H₁H),и которому принадлежит функция регрессии.

С учетом перечисленных величин, из допустимого множества выберем следующий вариант:

J_N := { J_N : card(sup )  n}, (8)

где n - число, характеризующее ограниченность ресурсов.

При осуществлении поиска оптимальных условий измерения в атомно-абсорбционном системе воздействия факторов на систему за целевую функцию воздействия принимают оптическую плотность (y), а в качестве факторов - температуру атомизатора (x₁) и концентрацию модификатора матрицы (x₂), и на основании этих показаний определяются условия (значения факторов) при которых оптическая плотность достигает максимума.

Общий вид зависимости целевой функции от параметров x₁ и x₂ приведен на рисунке (рис. 10):

Рис. 10. Зависимости целевой функции и параметров в атомно-сорбционной системе с максимумом воздействия

Зависимость целевой функции одновременно от двух факторов можно изобразить в виде "контурной карты" (это вид сверху на трехмерную поверхность отклика, описывающую функцию y) (рис. 11):

Рис. 11. Совместное влияние факторов x₁ и x₂ (корреляция между факторами)

При применении традиционных методов изучения полученных значений взаимного влияния а) (рис. 11) (красной точкой отмечен ошибочно найденный максимум функции отклика) необходимо варьировать одновременно все факторы, и двигаться в направлении возрастания функции б) (рис. 12):

Для решения задачи поиска максимума (минимума) функции отклика существует метод факторного планирования эксперимента, который позволяет получить максимально точное решение за минимальное количество измерений.

а) б)

Рис. 12. Результаты методов изучения полученных значений воздействия факторов на систему (отклика системы)