2.2 Анализ динамики числа пожаров в городе за последние 5 лет

При анализе динамики числа пожаров в городе за последние 5 лет необходимо: определить показатели изменения уровней временного ряда числа пожаров за анализируемый период; выявить основную тенденцию ряда динамики, которая позволяет представить его изменение за анализируемый период в виде некоторой математической модели; получить прогнозную оценку числа пожаров в городе на следующий год.

1. Если исследованию подвергаются изменения определенной характеристики у со временем, то перечень значений этой характеристики в последовательные моменты или интервалы времени образует так называемый ряд динамики или временной ряд (соответственно различают моментные и интервальные временные ряды). Временные ряды могут быть образованы значениями абсолютных или относительных характеристик, либо значениями средних величин.

2. Значения изучаемой характеристики у₁, у₂, …, у_N, образующие временной ряд, называют уровнями временного ряда. Первое у₁ и последнее у_N из этих значений соответственно называют начальным и конечным уровнями ряда.

3. При анализе временных рядов используют комплекс специальных показателей, характеризующих изменчивость в уровнях ряда. К таким показателям относится абсолютный прирост, коэффициент (или темп) роста, коэффициент (или темп) прироста. Расчет этих показателей производится для каждого i-го момента или интервала времени t = 1, 2, …N, где N - число анализируемых моментов или интервалов времени, которому соответствует эмпирическое значение изучаемой характеристики y_t.

4. Абсолютный прирост А_t показывает, на сколько единиц увеличился или уменьшился рассматриваемый уровень ряда у, по сравнению с некоторым уровнем, принятым за базу для сравнения у_баз:

.

В качестве базы для сравнения можно принять предшествующий, начальный или средний уровни ряда. Значения абсолютного прироста A_t могут быть положительными (при y_t > у_баз), отрицательными (при y_t < у_баз) в данном случае можно говорить об абсолютной убыли, либо равными нулю (при y_t = у_баз).

5. Коэффициент роста H_t, определяется как отношение рассматриваемого уровня ряда у_t к уровню, принятому за базу для сравнения у_баз:

.

В зависимости от соотношений значений рассматриваемого и базового уровней значение коэффициента роста H_t может оказаться меньше единицы (при y_t < у_баз), равным единице (при y_t = у_баз) или больше единицы (при y_t > у_баз).

Коэффициент роста, выраженный в процентах, называется темпом роста.

6. Коэффициент прироста B_t определяется как отношение абсолютного прироста A_t, к уровню, принятому за базу для сравнения у_баз:

.

Значения B_t могут быть положительными, отрицательными, либо равными нулю в зависимости от значений абсолютного прироста.

Коэффициент прироста, выраженный в процентах, называется темпом прироста. Он показывает, на сколько процентов увеличилось или уменьшилось значение рассматриваемого уровня ряда y_t по сравнению с базисным у_баз, принятым за 100 %.

Произведем расчеты рассмотренных показателей для интервального временного ряда, отражающего динамику числа пожаров в городе за пять лет (N=5). За базу для сравнения с тем или иным уровнем ряда y_t принят предшествующий уровень рада (у_баз = y_t-1). Вычисляемые при таком условии показатели A_t, H_t и B_t, (t= 1,2,., N) называются цепными.

Результаты расчетов сведем в таблицу.

Таблица 13 Показатели ряда динамики числа пожаров в городе за 5 лет.

7. При анализе временных рядов используются также следующие обобщенные показатели:

средний уровень ряда, вычисление которого производится по формуле:

;

дисперсия ряда, по значению которой можно оценить разброс значений уровней ряда вокруг их среднего уровня, вычисляется по формуле:

;

стандарт ряда (среднеквадратичное отклонение), вычисляемый как:

;

коэффициент вариации ряда, который является относительной мерой рассеяния значений уровней ряда вокруг их среднего уровня и вычисляется по формуле:

.

Для временного ряда, представленного в табл.3, значения перечисленных обобщенных показателей оказались следующими:

(пожаров/год);

;

; .

8. Эффективным способом выявления основной тенденции процесса изменения уровней временного ряда является его математическое моделирование. При этом уровни ряда выражаются в виде функции времени:

.

9. Если характер динамики подтверждает предположение о том, что наблюдаемое в t-м году число пожаров в городе y_t (t = 1,2,…, N, где N - число анализируемых лет) изменяется с течением времени с более или менее постоянной абсолютной скоростью, то математическим выражением такой тенденции будет являться линейная зависимость вида:

,

где - расчетное значение числа пожаров в t-м году; а и b - коэффициенты; t - номер года.

10. Для нахождения неизвестных коэффициентов используется метод наименьших квадратов. Согласно этому методу, коэффициенты (а и b) уравнения вычисляются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений y_t от расчетных значений была минимальной, т.е. отвечала условию:

.

Чтобы найти неизвестные коэффициенты а и b следует воспользоваться тем фактом, что в точке экстремума (в данном случае в точке минимума) производная функции равна нулю. Для этого нужно приравнять к нулю частные производные:

; ,

что дает для определения коэффициентов а и b систему линейных уравнений:

.

Решая эту систему, получаем уравнения для нахождения коэффициентов а и b:

; .

Зная величины коэффициентов а и b и предполагая, что имеющаяся тенденция изменения числа пожаров в городе останется неизменной, можно вычислить прогнозную оценку числа пожаров в интересующем году, подставив в уравнение в пункте 9 номер этого года.

Выполним прогнозирование числа пожаров в городе на год вперед по исходным данным числа пожаров в городе за последние 5 лет.

Для выявления тенденции изменения числа пожаров в городе используем аналитическое выравнивание временного ряда в виде зависимости в пункте 9.

Для нахождения коэффициентов а и b предварительно составим вспомогательную таблицу 14.

Таблица 14

Находим значения коэффициентов:

; .

Определяем ориентировочное значение числа пожаров в городе в следующем году (t = 6):

.

Наносим на график эмпирические значения числа пожаров за прошедшие 5 лет, выровненные уровни этого временного ряда и прогнозируемое значение для шестого года (рис.1).

Рис. 1. Динамика числа пожаров в городе по годам. 1 - эмпирические значения; 2 - теоретические значения.

Вывод. В рассматриваемом случае можно констатировать, что наблюдается тенденция роста числа пожаров в городе. Этот факт необходимо будет учесть при обосновании требуемого количества сил и средств ПП города на перспективу.