5.1. Выравнивание по прямой линии

Аналитическое уравнение прямой линии имеет вид

(8)

где -- параметры, уравнения (8); t -- показатель времени.

Для нахождения параметров уравнения и следует решить следующую систему уравнений

,(9)

Аналитическое выравнивание можно существенно упростить соответствующим подбором значений t так, чтобы . При этом различают два случая:

1. Если число членов динамического ряда нечетное, то t следует отсчитывать от середины ряда. При таком отчете значение серединной даты (или периода) динамического ряда принимается равным нулю, ранние даты имеют отрицательные значения (-1; -2; -3 и т. д.), а поздние даты -- положительные значения (1; 2; 3 и т. д.).

2. Если число членов ряда четное, то и в этом случае сохранятся требования о равных интервалах между всеми значениями t и о том, чтобы сумма всех значений t равнялась нулю. Подбор значений t производится так: находится серединная пара дат (или периодов) и значения t для нее принимают: -1 и +1, а далее вверх идут -3; -5; - и т. д., и вниз +3; +5; +7 и т. д.

В табл. 8 приведены все необходимые данные для решения системы (9).

Упрощенная система уравнений примет вид:

, (10)

Отсюда

(11)

Подставив численные значения в выражение (11), получим

и

Подставим численные значения и в уравнение прямой линии (8), получим

(12)

Данное уравнение показывает, что число несчастных случаев снижается в среднем на 0,029 случая в год, т. е. параметр в уравнении показывает среднюю величину абсолютного снижения выровненного ряда динамики.

Подставляя в уравнение (12) соответствующие значения t из табл. 8, получим теоретические значения числа несчастных случаев (координаты для построения прямой линии).

Для оценки правильности выбора уравнения используется среднеквадратическое отклонение фактических уровней ряда от уровней, вычисленных по уравнению тренда и коэффициент вариации V

(13)

где n -- число уровней ряда;

р -- число оцениваемых параметров в уравнении тренда ( и ).

(14)

Таблица 8. Вспомогательная таблица для определения параметров прямой линии

Таким образом,

Коэффициент вариации рассчитываем по формуле (14)

Как видим, изменения довольно значительные. Это можно объяснить тем, что мы рассматривали короткий ряд динамики.

5.2. Прогноз травматизма до 2016 года

Воспользуемся программой «Прогноз.ехе» и определим кривую. При этом надо помнить, что отдавать предпочтение той или иной модели тренда необходимо на основании глубокого качественного анализа изучаемого явления.

Для ПСП-1 (см. табл. 6) распределение травматизма по годам и его прогноз на 5 лет наилучшим образом аппроксимируется кривой вида

, (15)

где А = 13694,87; В = 14200,39; С = -22239,77,

-- теоретическое число несчастных случаев;

p и q -- коэффициенты перемасштабирования оси (автоматическое);

x -- год, в котором определяется число травм.

Таблица 9. Вспомогательная таблица для расчета тренда

Аппроксимированная кривая имеет вид

.

Для расчета и V используем соответствующие формулы (13) и (14).

; =14,7%.

Значение коэффициента вариации V говорит о том, что аппроксимированная кривая несколько более точно воспроизводит фактические значения числа несчастных случаев, чем прямая линия.

В табл. 10 дана сравнительная характеристика рассмотренных трендов. Как видно из нее, наилучшим образом требованию наименьших квадратов отвечает уравнение кривой.

Таблица 10. Сравнительная характеристика уравнений тренда

производственного травматизма

Прогноз числа несчастных случаев на основе других кривых выравнивания осуществляется аналогично.

При составлении прогноза используют интервальную оценку, определяя для этого доверительные границы (интервалы) прогноза.

Величины доверительных интервалов определяются по формуле

, (16)

где -- теоретические уровни, рассчитанные по уравнению тренда;

t -- здесь критерий Стьюдента;

-- среднеквадратическое отклонение от тренда.

Величина определяется по формуле (13) и для уравнения аппроксимированной кривой составляет 1,94 случая. Значение t =1,96 соответствует вероятности Р = 0,95 (для вероятности Р = 0,99, t = 2,58).

Определим доверительные интервалы прогноза по формуле (16). Для этого используем теоретические значения травматизма по кривой (15) до 2016 г. и фактические данные травматизма

.

Фактические данные, линейная тенденция, рассчитанная по уравнению прямой линии и прогноз по уравнению (15), представлены на рис. 4.

Рис. 4. Фактические данные, линейная тенденция, рассчитанная по уравнению прямой линии и его прогноз до 2016 г.