6.1 Уравнения множественной регрессии

В условиях данной задачи будет рассматриваться уравнение множественной регрессии. Для обнаружения значимой статистической зависимости между случайными величинами Y, X₁, X₂, …, X_n ставится задача отыскания вида этой зависимости.

В общем случае зависимость ищется в виде функции n переменных: y=f(x₁, x₂, …, x_n). Здесь =(x₁, x₂, …, x_n) - n-мерная случайная величина, y - значение функции f(x₁, x₂, …, x_n). Функцию y=f(x₁, x₂, …, x_n) требуется определить так, чтобы при каждом из значений аргумента =(x₁, x₂, …, x_n) значение функции f(x₁, x₂, …, x_n) было максимально приближено к соответствующему значению случайной величины Y.

Функция f предполагается линейно зависящей от своих аргументов и уравнение регрессии ищется в виде:

y = a₀ + a₁x₁ +…+a_jx_j +…+ a_nx_n. (12)

Для нахождения неизвестных параметров a₀, a₁,…, a_n функции необходимо решить следующую систему уравнений:

……………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………..

В условиях данной задачи была выбрана система уравнений с тремя неизвестными:

где у - значения показателей производственного травматизма и профессиональной заболеваемости (К_ч, К_л., К_п.з., К_т);

m - объем выборки, для данного случая m=13;

x_1, x_2, x₃ - показатели, которые были выбраны, исходя из результатов проверки значимости парных коэффициентов корреляции.

В уравнении для коэффициента частоты травматизма К_ч:

- x₁ - средства, израсходованные на мероприятия по охране труда в расчете на одного работающего (S);

- x₂ - инвестиции в основной капитал в фактически действовавших ценах (I);

- x₃ - валовой региональный продукт (V).

В уравнении для коэффициента частоты смертельных исходов К_л.:

- x₁ - средства, израсходованные на мероприятия по охране труда в расчете на одного работающего (S);

- x₂ - инвестиции в основной капитал в фактически действовавших ценах (I);

- x₃ - валовой региональный продукт (V).

В уравнении для коэффициента частоты профессиональных заболеваний К_п.з.:

- x₁ - валовой региональный продукт (V);

- x₂ - средства, израсходованные на мероприятия по охране труда в расчете на одного работающего (S);

- x₃ - инвестиции в основной капитал в фактически действовавших ценах (I).

В уравнении для коэффициента тяжести К_т:

- x₁ - доля работников, занятых в условиях, не отвечающих санитарно-гигиеническим нормам, от общего числа работающих (d);

- x₂ - средства, израсходованные на мероприятия по охране труда в расчете на одного работающего (S);

- x₃ - валовой региональный продукт (V).

Система уравнений для коэффициента частоты производственного травматизма (К_ч):

52,4 = 13a₀ + 61259,9a₁ + 482,8a₂ + 2635,1a₃

208006,3= 61259,9a₀ + 398462769,9a₁ + 2854899,2a₂ + 15804692,9a₃

1663,9= 482,8a₀ + 2854899,2a₁ + 22730,3a₂ + 123312,3a₃

9060,1= 2635,1a₀ + 15804692,9a₁ + 123312,3a₂ + 674761,3a₃

Система уравнений для коэффициента частоты смертельных исходов (К_л):

1,00 = 13a₀ + 61259,9a₁ + 482,8a₂ + 2635,1a₃

3859,3 = 61259,9a₀ ++ 398462769,9a₁ + 2854899,2a₂ + 15804692,9a₃

32,1 = 482,8a₀ + 2854899,2a₁ + 22730,3a₂ + 123312,3a₃

173,6= 2635,1a₀ +15804692,9a₁ + 123312,3a₂ + 674761,3a₃

Система уравнений для коэффициента частоты профессиональных заболеваний (К_п.з.):

16 = 13a₀ + 2635,1a₁ + 61259,9a₂ + 482,8a₃

2883,8= 2635,1a₀ +674761,3 a₁ +15804692,9 a₂ + 123312,3a₃

68475,3= 61259,9a₀ + 15804692,9 a₁ + 398462769,9a₂ + 2854899,2a₃

527,9= 482,8a₀ + 123312,3a₁ + 2854899,2a₂ + 22730,3a₃

Система уравнений для коэффициента тяжести (К_т):

433,0 = 13a₀ + 313,6a₁ + 61259,9a₂ + 2635,1a₃

11015 = 313,6a₀ + 7966,2a₁ + 1650687,6a₂ + 70811,3a₃

239420,9= 61259,9a₀ + 1650687,6a₁ +398462769,9 a₂ + 15804692,9 a₃

98476,2= 2635,1a₀ +70811,3 a₁ +15804692,9 a₂ +674761,3 a₃

Значения неизвестных параметров системы находятся методом Крамера.

1. Решение системы уравнений для коэффициента частоты травматизма (К_ч):

Искомые значения коэффициентов уравнения находятся по формуле:

(13)

По найденным параметрам составляется уравнение регрессии:

К_ч = 6,28 - 5,5*S - 732,3*I -845,2*V

2. Решение системы уравнений для коэффициента частоты смертельных исходов К_с.и.:

Уравнение регрессии:

К_л = 0,1179 - 0,54*S - 1,8*I - 7,2*V

3. Решение системы уравнений для коэффициента частоты профессиональных заболеваний К_п.з.:

Уравнение регрессии:

К_п.з. = 1,76 - 507*V + 6,74*S + 493,5*I

4. Решение системы уравнений для коэффициента тяжести К_т:

Уравнение регрессии:

К_т = 8,757 + 0,6718d + 0,000431S + 0,03114V